第二十四章 圆
第三节 弧、弦、圆心角、圆周角
【学习目标】
1.了解圆心角、圆周角的概念;
2.理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题;
3.掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它两组量对应相等,及其它们在解题中的应用.
【要点梳理】
知识点一、弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角定义
∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
3.推论:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.
要点诠释:
(1)一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征.
(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
知识点二、圆周角
1.圆周角定义:
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3.圆周角定理的推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
要点诠释:
(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4.圆内接四边形:
(1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.
(2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角).
5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系:
在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等.
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